Интерференция света в тонких плёнках. Просветление оптики

В природе можно наблюдать радужную окраску тонких пленок (пленок нефтепродуктов на воде, мыльных пузырей и т.д.), которая возникает в результате интерференции света. При падении света на тонкую прозрачную пленку (или пластинку) происходит отражение от обеих поверхностей пленки. В результате возникают две световые волны, которые могут интерферировать. Такой способ получения интерференционной картины называется делением амплитуды световой волны.

Оптическая разность хода

Пусть на плоскопараллельную пластинку (плёнку) с показателем преломления n и толщиной d под углом α (рис.1) падает плоская монохроматическая волна (пучок параллельных лучей). Рассмотрим только один из лучей этой волны, так как другие находятся в одинаковых условиях. На поверхности пленки в точке О луч 1 разделится на два луча: частично отразится (луч 1а) и частично преломится.

Преломленный луч в точке C также частично отразится от нижней поверхности пленки, и частично преломится в воздух. Отраженный в точке С луч, дойдя до точки В, опять частично отразится и преломится (луч 1б), выходя в воздух под углом α. Луч, отраженный в точке В, опять отразится от нижней поверхности пленки, но он будет иметь меньшую интенсивность, и мы его рассматривать в дальнейшем не будем.

Лучи 1а и 1б, отраженные от верхней и нижней поверхностей пленки, испущены одним и тем же источником и поэтому могут при известных условиях быть когерентны. Они параллельны, и поэтому если на их пути поставить собирающую линзу, то они сойдутся в одной из точек фокальной плоскости линзы, и на экране в этой плоскости будет наблюдаться интерференционная картина. Собирающую линзу легко может заменить человеческий глаз.

Разность хода лучей 1а и 1б, возникающая при прохождении их от точки О до точки наложения Р, равна:

\Delta = OC + CB - OA \ldotp \quad \textit{(1.1)}

OC + CB – это геометрическое расстояние, пройденное светом внутри плёнки.

Проходя через среду с показателем преломления большим единицы (n>1), свет запаздывает (т. е. как будто бы проходит больший путь) по отношению к свету, который шел бы то же расстояние в среде с n=1. Чтобы компенсировать опоздание следует геометрическое расстояния l умножить на показатель преломления среды n. Получим оптическую длину пути (L).

L = nl\ldotp

Заменим геометрическое расстояние в выражении (1.1) на оптическую длину пути:

{\mathrm{\Delta}} = n \cdot (OC + CB) - OA \ldotp \quad \textit{(1.2)}

Рассмотрим треугольники ΔOCD и ΔBCD (Рис. 1). Они - прямоугольные, т.к. CD - является перпендикуляром к отражающей поверхности, а отражающая поверхность параллельна верхней части плёнки. Угол преломления β луча 1 равен ∠OCD, потому что они накрест лежащие, а ∠OCD равен ∠BCD, потому что это углы падения и отражения. Найдём гипотенузы этих треугольников:

OC = \frac{d}{\cos \beta }{\mathrm{;}} \enspace CB = \frac{d}{\cos \beta }{\mathrm{;}} \quad \textit{(1.3)}

Подставим выражения (1.3) в уравнение (1.2):

\Delta = n \cdot (\frac{d}{\cos \beta } + \frac{d}{\cos \beta }) - OA; \newline \Delta = \frac{2dn}{\cos \beta } - OA\ldotp \quad \textit{(1.4)}

Осталось найти значение OA (рис. 1). Заметим, что угол падения α луча 1 равен ∠OBA, т.к. это углы с взаимно перпендикулярными сторонами. ΔOAB - прямоугольный. Выразим OA через OB:

OA = OB - \sin \alpha \ldotp \quad \textit{(1.5)}

Гипотенуза OB состоит из катетов OD и DB (OB = OD + DB). Получим катеты через тангенсы:

\tg\beta = \frac{OD}{d}; \enspace \tg\beta = \frac{DB}{d}; OD = BD = d \cdot \tg \beta; OB = d \cdot \tg \beta + d \cdot \tg \beta; OB = 2d \cdot \tg \beta \ldotp \quad \textit{(1.6)}

Подставим выражение (1.6) в уравнение (1.5):

OA = 2d \cdot \tg \beta \cdot \sin \alpha \ldotp \quad \textit{(1.7)}

С учётом значения OA (1.7), запишем уравнение (1.4):

\Delta = \frac{2dn}{\cos \beta }- 2d \cdot \tg \beta \cdot \sin \alpha ; \tg\beta = \frac{\sin \beta }{\cos \beta }; \Delta = \frac{2dn}{\cos \beta }- 2d \cdot \frac{\sin \beta }{\cos \beta } \cdot \sin \alpha \ldotp \quad \textit{(1.8)}

Вспомним закон Снеллиуса:

\frac{\sin \alpha }{\cos \beta } = \frac{n_2}{n_1}\ldotp

Для нашего случая, показатель преломления второй среды n₂=n, а показатель преломления первой среды n₁=1. Подставим значения и выразим sinα:

\sin \alpha = n \cdot sin \beta \ldotp \quad \textit{(1.9)}

Подставим полученное значение  (1.9) в уравнение (1.8):

\Delta = \frac{2dn}{\cos \beta }- 2d \cdot \frac{\sin \beta }{\cos \beta } \cdot n \cdot \sin \beta ; \newline \Delta = \frac{2dn}{\cos \beta }- \frac{2dn \cdot \sin^2\beta }{\cos \beta }\ldotp

Приведём к одинаковому знаменателю и вынесем 2dn за скобки:

\Delta = \frac{2dn- 2dn \cdot \sin^2\beta }{\cos \beta }; \newline \Delta = \frac{2dn \cdot (1- \sin^2\beta )}{\cos \beta }\ldotp \quad \textit{(1.10)}

Используем основное тригонометрическое тождество sin²β+cos²β=1, чтобы преобразовать выражение (1.10):

\Delta = \frac{2dn \cdot \cos^2\beta }{\cos \beta }{\mathrm{;}} \newline \Delta = 2dn \cdot cos\beta \ldotp \quad \textit{(1.11)}

Фаза волны, при попадании из среды оптически менее плотной в оптически более плотную, задерживается на π, что приводит к потере полуволны λ/2. λ – значение длины волны в оптически менее плотной среде.

Учтём это в формуле оптической разности хода, при известном угле преломления β (1.11):

\fcolorbox{black}{#E0FFFF}{$ \Delta = 2dn \cdot \cos \beta - \frac{\lambda }{2} $} \quad \textit{(1.12)}

Выведем зависимость от угла отражения α.

Используя основное тригонометрическое тождество sin²β+cos²β=1, получим cosβ:

\cos \beta = \sqrt{1- sin^2\beta }\ldotp \quad \textit{(1.13)}

По закону Снеллиуса (1.9):

\sin \beta = \frac{\sin \alpha }{n}\ldotp \quad \textit{(1.14)}

Подставим выражение (1.14) в уравнение (1.13):

\cos \beta = \sqrt{1- \left(\frac{sin\alpha }{n}\right)^2}; \newline \cos \beta = \sqrt{1- \frac{sin^2\alpha }{n^2}}\ldotp \quad \textit{(1.15)}

Подставим полученное выражение (1.15) в формулу оптической разности хода (1.12):

\Delta = 2dn \cdot \sqrt{1- \frac{sin^2\alpha }{n^2}} - \frac{\lambda }{2}\ldotp

Внесём под корень показатель преломления n и раскроем скобки:

\Delta = 2d \cdot \sqrt{n^2 \cdot (1- \frac{sin^2\alpha }{n^2})} - \frac{\lambda }{2}; \Delta = 2d \cdot \sqrt{n^2- (\frac{n^2 \cdot sin^2\alpha }{n^2})} - \frac{\lambda }{2}\ldotp

Сократив квадраты показателя преломления, получим формулу оптической разности хода при известном угле падения α:

\fcolorbox{black}{#E0FFFF}{$ \Delta = 2d \cdot \sqrt{n^2- sin^2\alpha }- \frac{\lambda }{2} $} \quad \textit{(1.16)}

где Δ – оптическая разность хода, λ – значение длины волны в воздухе (вакууме), d – толщина плёнки, n – показатель преломления плёнки, α – угол падения луча света, β – угол преломления луча света.

Оптическая разность хода, прямо пропорционально зависит от толщины плёнки, и обратно пропорционально от угла падения α (угла преломления β).

Плохое отражение

На экране в точке P (рис. 1) будет наблюдаться минимум, а именно чёрные полосы, если

\Delta = (m + \frac{1}{2})\lambda, \quad \textit{(2.1)}

где m - целые числа (0, ±1, ±2, ±3 и т.д).

Подставим условие минимума (2.1) в формулу оптической разности хода при известном угле падения α (1.16):

(m + \frac{1}{2})\lambda = 2d \cdot \sqrt{n^2- sin^2\alpha }- \frac{\lambda }{2}\ldotp

Раскроем скобки и перенесём полдлины волны влево:

m\lambda + \frac{\lambda }{2} = 2d \cdot \sqrt{n^2- sin^2\alpha }- \frac{\lambda }{2}{\mathrm{;}} m\lambda + \frac{\lambda }{2} + \frac{\lambda }{2} = 2d \cdot \sqrt{n^2 - sin^2\alpha }\ldotp

Сложим две полдлины волны и вынесем за скобку λ:

m\lambda + \lambda = 2d \cdot \sqrt{n^2 - sin^2\alpha }{\mathrm{;}} \lambda (m + 1) = 2d \cdot \sqrt{n^2 - sin^2\alpha }\ldotp

Разделим левую и правую часть на (m+1), получим

\fcolorbox{black}{#E0FFFF}{$ \lambda_{\min} = \frac{2d \cdot \sqrt{n^2 - sin^2\alpha }}{(m + 1)} $} \quad \textit{(2.2)}

λ_min - значение длины волны, при котором будет наблюдаться интерференционный минимум.

Хорошее отражение

На экране в точке P (рис. 1) будет наблюдаться максимум, а именно светлые полосы, если

\Delta = m\lambda, \quad \textit{(2.3)}

где m - целые числа (0, ±1, ±2, ±3 и т.д).

Подставим условие максимума (2.3) в формулу оптической разности хода при известном угле падения α (1.16):

m\lambda = 2d \cdot \sqrt{n^2- sin^2\alpha }- \frac{\lambda }{2}\ldotp

Перенесём полдлины волны влево и вынесем длину волны λ за скобки:

m\lambda + \frac{\lambda }{2} = 2d \cdot \sqrt{n^2- sin^2\alpha }{\mathrm{;}} \lambda (m + \frac{1}{2}) = 2d \cdot \sqrt{n^2- sin^2\alpha }\ldotp

Разделим левую и правую часть на (m+½), получим

\fcolorbox{black}{#E0FFFF}{$ \lambda_{\max} = \frac{2d \cdot \sqrt{n^2- sin^2\alpha }}{(m + \frac{1}{2})} $} \quad \textit{(2.4)}

λ_max - значение длины волны, при котором будет наблюдаться интерференционный максимум.

Таким образом, при падении на пластинку плоской световой волны можно наблюдать систему интерференционных полос. Полосы равного наклона возникают при отражении от плоскопараллельной пластинки (плёнки). Из выражений (2.2) и (2.4) следует, что положение интерференционных полос на экране зависит от l, d, n и a.

Просветление оптики

Объективы фотоаппаратов и кинопроекторов, перископы подводных лодок и различные другие оптические устройства состоят из большого числа оптических стёкол - линз, призм и др. Проходя через такие устройства, свет отражается от многих поверхностей.        

При падении света перпендикулярно поверхности доля отражённой от неё энергии составляет 5 - 9 % всей энергии. Поэтому сквозь прибор часто проходит всего 10 - 20 % поступающего в него света. В результате этого освещённость изображения получается слабой. Кроме того, ухудшается качество изображения. Часть светового пучка после многократного отражения от внутренних поверхностей всё же проходит через оптический прибор, но рассеивается и уже не участвует в создании чёткого изображения. На фотографических изображениях по этой причине образуется «вуаль». Для устранения этих неприятных последствий отражения света от поверхностей оптических стёкол надо уменьшить долю отражаемой энергии света. Получаемое с помощью прибора изображение становится при этом ярче, просветляется. Отсюда и происходит термин просветление оптики.

ИНТЕРЕСНО. Число отражающих поверхностей в современных фотообъективах превышает 10, а в перископах подводных лодок доходит до 40.

Просветление оптики основано на явлении интерференции. На поверхность оптического стекла, например линзы, наносят тонкую плёнку с показателем преломления n_п, меньшим показателя преломления стекла n_с. Для простоты рассмотрим случай нормального падения света на плёнку.

Для упрощения понимания на рисунке 2 показан ход луча, падающего на поверхность раздела под небольшим углом α.

Если амплитуды обеих отражённых волн одинаковы или очень близки друг к другу, то гашение света будет полным. Чтобы добиться этого, подбирают соответствующим образом показатель преломления плёнки, так как интенсивность отражённого света определяется отношением коэффициентов преломления двух граничащих сред. Когда на линзу падает белый свет, осуществить гашение отражённых волн всех частот невозможно. Толщину плёнки подбирают так, чтобы добиться полного гашения для длин волн средней части спектра (зелёный цвет, λ_з≈550 нм).

Отражение света для крайних участков спектра - красного и фиолетового - будет несколько меньшим. Поэтому объектив с просветлённой оптикой в отражённом свете имеет сиреневый оттенок. Сейчас даже простые дешёвые фотоаппараты снабжены просветлённой оптикой.

Вопросы

1. Чем объяснить радужную окраску масляных и нефтяных пятен на поверхности воды?
2. Чем отличается оптическая длина пути от геометрического расстояния?
3. Что происходит с длиной волны, при попадании света из оптически менее плотной среды в оптически более плотную?
4. По какой формуле можно найти оптическую разность хода световых лучей, при известном угле преломления β? при известном угле отражения α? Назовите величины в формуле и их единицы измерения.
5. Как зависит оптическая разность хода от угла отражения α и угла преломления β?
6. При каком условии будет наблюдаться плохое отражение? Как найти длину волны в этом случае?
7. При каком условии будет наблюдаться хорошее отражение? Как найти длину волны в этом случае?
8. Что такое просветление оптики? На чём оно основано? Что достигается применением просветлённой оптики?

Упражнения

1. (25.15, Гладкова) Какую наименьшую толщину должна иметь пластинка, сделанная из материала с показателем преломления 1,54, чтобы при ее освещении светом с длиной волны 750 нм, перпендикулярным поверхности пластинки, она в отраженном свете казалась: а) красной, б) черной?
2. (25.16, Гладкова) На плёнку толщиной 0,50 мкм падает нормально свет с длиной волны 0,59 мкм. Считая показатель преломления пленки равным 1,48, определить, какой будет казаться пленка в проходящем свете. Как будет меняться цвет при её наклоне относительно лучей?
3. Какой наименьшей толщины надо изготовить плоскопараллельную пластинку из стекла с показателем преломления 1,54, чтобы при освещении ее монохроматическим светом (l=750 нм), который падает под углом 30° к поверхности пластинки, в отраженном свете она была бы красной?
4. На мыльную пленку с n=1,33 падает под углом 60° параллельный пучок белого света. Определить наименьшую толщину пленки, при которой в отраженном свете пленка имеет желтую окраску (λ_ж=0,6 мкм).
5. (7.32, Гельфгат) Две плоские горизонтальные стеклянные пластинки, между ко­торыми находится тонкая воздушная прослойка, освещают сверху вертикальным пучком монохроматического света. Пластинки мед­ленно раздвигают, наблюдая отраженный от верхней пластинки свет. При постепенном увеличении расстояния между пластинка­ми на 0,14 мкм темная поверхность верхней пластинки становится светлой. Какова длина волны падающего света?
6. (7.33, Гельфгат) Вертикальный пучок света с длиной волны 660 нм падает на по­верхность воды в пробирке, покрытую тонкой пленкой бензола. В пробирку понемногу доливают бензол. По мере увеличения тол­щины пленки наблюдаются чередующиеся максимумы и миниму­мы отражения света. На сколько должна увеличиться толщина пленки бензола, чтобы один минимум сменился другим? (n_воды=1,33; n_{бензола}=1,5)

Подсказки

1. а) 0,12 мкм; б) 0,24 мкм;
2. чёрной; то черной, то жёлтой;
3. 129 нм;
4. 0,15 мкм;
5. 560 нм;
6. на 0,22 мкм.

Источники: Интерференция и дифракция света. Михеенко А.В., Кирюшин А.В., Швец Н.Л.; По материалам учебника «Физика. 10 класс» Г.Я. Мякишев и др; Задачники по физике: Гладкова Р.А. и Гельфгат И.М.