Работа электрического поля. Напряжение и потенциал

Мы познакомились с характеристикой электрического поля - напряженностью электрического поля. Эта величина позволяет найти силу, действующую на заряд, помещенный в определенную точку поля, поэтому данную характеристик также называют силовой характеристикой электрического поля. Сейчас мы познакомимся еще с двумя его характеристиками — электрическим потенциалом и электрическим напряжением.

Рассмотрим электрический заряд, находящийся в электрическом поле. На него со стороны поля действует сила. Поскольку мы занимаемся электростатикой, то эта сила постоянная. Если заряд перемещается из одной точки пространства в другую, то эта сила совершает работу. Исторически сложилось, что такую работу называют работой электрического поля. Хотя на самом деле мы понимаем, что это работа электрической силы. От чего зависит такая работа? Как ее вычислять?

Сначала рассмотрим простейший случай: заряд находится в однородном поле. Создавать такое поле мы будем с помощью плоского конденсатора (рис. 1).

Итак, в некоторой точке А однородного поля находится заряд. Для определенности будем считать его положительным. Пусть этот заряд перемещается по прямолинейной траектории в точку В. Нам необходимо найти работу, совершаемую электрическим полем по перемещению заряда из точки А в точку В. Мы с вами помним из механики, что работа постоянной силы (в однородном поле сила, действующая на заряд, постоянна) по перемещению тела (в нашем случае таким телом является заряд) из точки А в точку В равняется модулю силы F, действующей на тело, умноженному на модуль перемещения тела S_AB и на косинус угла  между направлением силы и направлением перемещения:

A_{AB} = FS_{AB} \cdot \cos \alpha \ldotp

Поскольку заряд у нас положительный, направление силы будет совпадать с направлением вектора напряженности поля. Если известна напряженность поля, в котором находится заряд, действующая на него сила определяется очень просто:

\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{E}\ldotp

Тогда, подставляя модуль этого вектора в выражение для работы, мы получим следующий результат:

A_{AB} = qES_{AB} \cdot \cos \alpha \ldotp

Обратим внимание на произведение S_AB · cosα. Оно представляет собой проекцию вектора перемещения на направление электрического поля. Из прямоугольного треугольника, показанного на рисунке, видно, что проекция равна длине прилежащего катета, в то время как модуль вектора представляет собой длину гипотенузы. Обозначим проекцию буквой d и запишем ответ следующим образом:

A_{AB} = qEd \ldotp

Следующий шаг: пусть заряд перемещается из точки А в точку В не по прямой, а по ломаной линии. Из точки А он сначала перемещается в точку С, а потом из точки С - в точку В (рис. 2).

Первый вектор перемещения обозначим ₁, второй - ₂. Углы между направлением вектора перемещения и направлением поля обозначим, соответственно, α ₁ и α₂.

Работа по перемещению заряда из точки А в точку В теперь будет складываться из двух работ: работы по перемещению заряда из A в C и работы по перемещению заряда из С в B. Каждую из этих работ мы можем рассчитать следующим образом:

A_{AB} = A_{AC} + A_{CB}; A_{AB} = qES_{AC} \cdot \cos \alpha_{1} + qES_{CB} \cdot \cos \alpha_{2}\ldotp

Снова обратим внимание на произведения S_AC · cosα₁ и S_AC · cosα₁. Обозначим эти величины d₁ и d₂ соответственно. Из рисунка видно, что

d_{1} + d_{2} = d\ldotp

В самом деле, ведь поскольку вектор _AB у нас равен сумме векторов _AC и _CB,

\overrightarrow{S}_{AB} = \overrightarrow{S}_{AC} + \overrightarrow{S}_{CB},

а d - проекция суммы этих векторов, тогда проекция суммы векторов равняется сумме проекций векторов на ту же самую ось (в нашем случае такой осью является направление электрического поля). В итоге мы приходим к такой же формуле для работы:

\fcolorbox{black}{#E0FFFF}{$ A_{AB} = qEd $} \space,

где A_AB – работа однородного электрического поля по переносу заряда из точки A в точку B [Дж], q – величина переносимого заряда [Кл], E – напряжённость электрического поля [Н/Кл], d – длина проекции вектора перемещения заряда на направление электрического поля [м].

Данная формула работает для любой траектории движения заряда в однородном электрическом поле. Достаточно только провести вектор перемещения из начальной точки в конечную, а затем найти проекцию на направление электрического поля (рис. 3).

Следовательно, по какой бы траектории в однородном поле ни двигался заряд, работа поля по перемещению заряда всегда одна и та же. Она зависит только от начального и конечного положения заряда. Данное утверждение справедливо и для неоднородного поля.

Формула A_AB = qEd работает только для однородного поля.

Рассмотрим случай движения заряда в произвольном электрическом поле. Пусть заряд перемещается из точки A в точку B по одной траектории, а затем возвращается в точку A по другой траектории (рис. 4). Получим замкнутый контур перемещенияACBDA. При таком движении, общая работа электрического поля по перемещению заряда будет равна нулю.

На замкнутой траектории, когда заряд возвращается в начальную точку, работа электрического поля равна нулю. Поля, обладающие таким свойством, называют потенциальными.

Предположим, что работа в замкнутом контуре ACBDA не равна 0. Тогда не будет выполняться закон сохранения энергии, а заряд продолжит своё движение ускоряясь подобно вечному двигателю.  Простым языком объяснить можно так, когда энергия замкнутой системы потратится на совершение работы, потребуется дополнительная энергия извне подобно дозаправке автомобиля.

ИНТЕРЕСНО: В 1775 году Парижская академия наук приняла своё знаменитое решение не рассматривать проекты вечного двигателя из-за очевидной невозможности их создания. Но всё же некоторым учёным удаётся получить патенты на особо заумные изобретения, где патентное бюро не в силах сразу распознать вечный двигатель. Более того, великие учёные прошлого, в том числе Роберт Бойль и Иоганн Бернулли, предлагали собственные конструкции вечного двигателя. Многие годы посвятил изобретению вечного двигателя Леонардо да Винчи.

Сформулируем общий вывод:

В любом электростатическом поле, величина работы поля по перемещению заряда не зависит от траектории движения заряда, а определяется только его начальным и конечным положением.

Электрическое напряжение

Каким бы ни было поле, если оно является электростатическим, то есть не меняющимся во времени, работа электрической силы в этом поле будет одной и той же независимо от того, каким образом заряд переместился из начальной точки в конечную.

Вспомним, что таким же свойством обладает сила тяжести, а также сила упругости. Такие силы получили особое название - потенциальные силы. Следовательно, мы можем сказать, что кулоновская (электрическая) сила также является потенциальной силой. Либо же говорят по-другому: электростатическое поле является потенциальным полем.

Если сила, действующая на заряд, потенциальна, мы можем ввести такое понятие, как потенциальная энергия заряда в электрическом поле. Электрическая сила совершает работу именно благодаря тому, что заряд, находящийся в электрическом поле, обладает этой энергией. Работа электрической силы при перемещении заряда из точки A в точку B совершается за счет уменьшения его потенциальной энергии:

A_{AB} = W_{pA} - W_{pB},

где W_p – потенциальная энергия заряда [Дж]. В механике для энергии используется обозначение E, но в электричестве эта буква уже занята под напряжённость.

Чтобы получить привычное изменение Δ (это когда из конечного значения вычитают начальное), следует вынести минус за скобки:

A_{AB} = - \left(W_{pB} - W_{pA}\right); \fcolorbox{black}{#E0FFFF}{$ A_{AB} = - \Delta W_p $}

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда, равна изменению потенциальной энергии заряда, взятого с противоположным знаком.

Из определения работы электростатического поля при перемещении заряда можно сделать следующее заключение. Если электрическое поле совершает положительную работу, то потенциальная энергия заряженного тела уменьшается: ΔW_p<0. Одновременно увеличивается его кинетическая энергия. Происходит ускорение заряда. И наоборот, если работа отрицательна, то ΔW_p>0. Потенциальная энергия при этом увеличивается, а кинетическая уменьшается. Заряд теряет скорость.

Во всех формулах, которые мы вывели для вычисления работы электрического поля, в качестве сомножителя фигурирует величина заряда q. Так, если удвоить заряд, то удваивается и действующая на него электрическая сила. Соответственно, удваивается и работа этой силы. Поэтому величины А_AB, W_pA и W_pB также пропорциональны заряду. Разделим левую и правую части предыдущей формулы на заряд, который перемещается в поле:

\frac{A_{AB}}{q} = \frac{W_{pA}}{q} - \frac{W_{pB}}{q}\ldotp

Введём величину, равную отношению работы по перемещению заряда из точки А в точку В к величине заряда, и обозначим её буквой U.

\fcolorbox{black}{#E0FFFF}{$ U_{AB} = \frac{A_{AB}}{q} $}\space,

где U_AB – электрическое напряжение (разность потенциалов) между точками A и B [В], А_AB – работа электрического поля по переносу заряда из точки A в точку B [Дж], q – величина заряда [Кл].

Электрическим напряжением U между двумя точками электрического поля называется физическая величина, равная отношению работы поля по перемещению заряда между этими точками к величине перемещенного заряда.

Единицы измерения этой величины представляют собой Дж/Кл. Но это настолько важная физическая величина, что для нее придумали специальное наименование - вольт (В). Следовательно, напряжение измеряется в вольтах.

Один вольт - это такое напряжение между двумя точками электрического поля, при котором для перемещения заряда в один кулон между этими точками полем совершается работа в один джоуль.

Потенциал

Вернемся чуть назад и рассмотрим отношение потенциальной энергии заряда, находящегося в данной точке поля, к величине этого заряда. Как уже говорилось, это отношение является характеристикой поля, то есть физической величиной, описывающей поле в определенной точке:

\fcolorbox{black}{#E0FFFF}{$ \varphi = \frac{W_p}{q} $}\space,

где φ (фи) – электрический потенциал (потенциал) [В], W_p – потенциальная энергия заряда, в данной точке поля [Дж], q – величина заряда [Кл].

Величина φ называется электрическим потенциалом, или просто потенциалом. В каждой точке электрического поля свой потенциал. Если напряжение характеризует поле между двумя точками, то потенциал имеет то достоинство, что он характеризует поле в каждой конкретной точке.

Электрическим потенциалом в данной точке поля называется физическая величина, равная отношению потенциальной энергии заряда, помещенного в данную точку, к величине этого заряда.

Измеряется потенциал в вольтах. Электрический потенциал и напряжение между двумя точками электрического поля связаны очень простым соотношением:

\fcolorbox{black}{#E0FFFF}{$ U_{AB} = \varphi_A - \varphi_B $}

То есть электрическое напряжение между двумя точками поля равно разности потенциалов поля в этих двух точках. Поэтому термины «напряжение» и «разность потенциалов» используются в физике на равных правах.

Итак, мы познакомились с двумя новыми характеристиками электрического поля. Одна связана с работой по перемещению заряда между двумя точками поля, другая - с потенциальной энергией заряда, помещённого в данную точку поля. Поэтому напряжение и электрический потенциал называют энергетическими характеристиками электрического поля, в то время как напряженность поля - это силовая характеристика. Какая из этих характеристик важнее - говорить бессмысленно, ведь все зависит от того, какую задачу мы решаем. Обратим внимание на то, что, в отличие от напряженности поля, напряжение и потенциал - скалярные величины. А со скалярами работать проще, чем с векторами.

ПРИМЕЧАНИЕ: Используемые обозначения точек A и B не является строгим, в других источниках можно встретить обозначение 1 и 2. Например, A₁₂ = W_p1 - W_p2. Смысл от этого не меняется.

Нулевой уровень потенциальной энергии

Потенциальная энергия в электростатике определяется, как и в механике, в зависимости от выбранного нулевого уровня. Какая логика тут действует? Всё просто – выбираем уровень, при котором легче всего проводить расчёты. Например, для классического E_p=mgh, за нулевой уровень взята поверхность Земли. Следовательно, и потенциальная энергия на поверхности будет равна 0. Найдем работу тела, брошенного вверх на высоту h:

A_{AB} = E_{pA} - E_{pB};A_{AB} = 0 - E_{pB}; A_{AB} = E_{pB} = -mgh\ldotp

Разберем случай, когда за нулевой уровень потенциальной энергии взята начальная точка перемещения заряда. Получим следующее:

A_{AB} = 0 - W_{pB}; A_{AB} = W_{pB} = -qEd\ldotp

В зависимости от рассматриваемого вида взаимодействия в выражении работы фигурирует либо гравитационная сила mg, либо кулоновская Eq. Движение заряженной частицы в однородном электрическом поле аналогично её движению в однородном гравитационном поле, если

qE=mg\ldotp

Отметим, полученную выше, формулу для потенциальной энергии заряда:

\fcolorbox{black}{#E0FFFF}{$ W_{p} = qEd $} \space,

где d - расстояние от точки B до любой точки, находящейся с точкой B на одной силовой линии (линии электрического поля).

Как же изменится работа при выборе произвольной точки для нулевого уровня потенциальной энергии? Да никак не измениться, т.к. физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а разность её значений. На рисунке 5 изображены три разные системы отсчёта уровня потенциальной энергии. Модуль проекции d будет неизменным в любом случае, можете сами проверить.

Аналогичная ситуация происходит при изменении температур. Шкала Цельсия t отличается от шкалы абсолютных температур T лишь сдвигом вниз на 273 пункта (рис. 6). И если мы возьмем изменения ΔT и Δt, то они будут равны.

Вопросы

1. Почему напряжённость называют силовой характеристикой электрического поля?
2. Как связаны между собой работа однородного электрического поля по переносу заряда и напряжённость? Назовите величины и их единицы измерения.
3. Чему равна работа электрического поля по переносу заряда на замкнутой траектории? Ответ поясните.
4. Чем определяется и от чего не зависит работа электрического поля по перемещению заряда?
5. Как связано изменение потенциальной энергии с работой электрического поля?
6. Что такое электрическое напряжение? По какой формуле находится? Единицы измерения.
7. Дайте определение электрического потенциала? По какой формуле находится? Единицы измерения.
8. Почему термины напряжение и разность потенциалов равноправные?
9. Назовите энергетические характеристики электрического поля?
10. Чему равна потенциальная энергия заряженной частицы в однородном электрическом поле? Назовите величины и их единицы измерения.
11. Что такое нулевой уровень потенциальной энергии?
12. Как изменится работа электрического поля при выборе произвольной точки для нулевого уровня потенциальной энергии? Почему?

Пример решения задачи

В однородном электростатическом поле на заряд действует постоянная сила

\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{E}

перемещении заряда из точки А в точку C по прямой AC сила совершает работу:

A = F\left|\overrightarrow{AC}\right| \cdot cos\alpha = qES \cdot cos\alpha \ldotp

Подставляя числовые данные, получим:

A = 5 ∙ 10 ^-8 Кл ∙ 10³ В/м ∙ 12 ∙ 10 ^-2 м ∙ cos30° ≈ 5,2 ∙ 10 ^-6 Дж.

В = Дж/Кл. [Кл ∙ В/м ∙ м = Кл ∙ Дж/Кл = Дж]

Ответ: A ≈ 5,2 мкДж.

Упражнения

1. (8.1, Гельфгат) Потенциальная энергия заряда 1 нКл в электрическом поле равна 5 мкДж. Чему равен потенциал поля в этой точке?
2. (733, Рымкевич) В однородном электростатическом поле, напряжённость которого равна 1 кВ/м, переместили заряд -25 нКл в направлении силовой линии на расстояние 2 см. Найдите работу поля, изменение потенциальной энергии и напряжение между начальной и конечной точками траектории.
3. (§63, Упр. 2, Мякишев, Петрова) Чему равна разность потенциалов между двумя точками однородного электростатического поля, если при перемещении заряда 2 мкКл из одной точки в другую поле совершает работу, равную 8 • 10 ^-4 Дж?
4. (735, Рымкевич) В однородном электрическом поле напряженностью 60 кВ/м переместили заряд 5 нКл. Перемещение, равное по модулю 20 см, образует угол 60° с направлением силовой линии. Найти работу поля, изменение потенциальной энергии взаимодействия заряда и поля и напряжение между начальной и конечной точками перемещения. Дать ответы на те же вопросы для случая перемещения отрицательного заряда.
5. (§84, Задача 3, Касьянов) Какая работа совершается электростатическим полем протона атома водорода над электроном, вращающимся вокруг протона по круговой орбите радиусом 5,3 • 10-11 м?
6. (Упр. 17.1, Мякишев, Буховцев) В направленном вертикально вниз однородном электриче­ском поле напряженностью 1,3 • 10⁵ В/м капелька жидкости массой 2 • 10⁹ г оказалась в равновесии. Определите заряд ка­пельки и число избыточных электронов на ней.
7. (Упр. 17.3, Мякишев, Буховцев) Электрический заряд q₁>0 переместили по замкнутому контуру ABCD в поле точечного заряда q₂>0 (рис. 8). На каких участках работа поля по перемещению заряда была положительной? отрицательной? равной нулю? Как изменялась потенциальная энергия системы? Чему равна полная работа поля по перемещению заряда?

Подсказки

1. 5 кВ.
2. -0,5 мкДж; 0,5 мкДж; 20 В.
3. 400 В.
4. 30 мкДж; -30 мкДж; 6 кВ; -30 мкДж; 30 мкДж; 6 кВ.
5. 0 Дж
6. 1,5 • 10^-16 Кл; 940 избыточных электронов.
7. Подумайте сами 🙂

Источники: Физика. Основы электродинамики. Павел Виктор; По материалам учебника «Физика. 10 класс» Г.Я. Мякишев и др; учебник «Физика. 10 класс» В.А. Касьянов и др; Задачники по физике: И.М. Гельфгат и А.П. Рымкевич.